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数学 入試対策 プログラミング教育 2026.9.20

神山まるごと高専 2026年度 数学 過去問 解答・解説｜中学生向け図解

神山まるごと高専 2026年度 数学 過去問 解答・解説｜中学生向け図解

この解説は非公式です。
本記事は、神山まるごと高専が公開している2026（令和8）年度 入学試験 学力試験（数学）A方式・B方式共通の問題をもとに、学習用として独自に作成した解答・解説です。学校公式の解答・見解ではありません。

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おすすめの使い方

  1. 最初に問題を自分で解く

  2. 正解一覧で答えを確認する

  3. 間違えた問題だけ解説を読む

  4. 最後に「なぜその方法で解けるのか」を説明できるか確認する

正解一覧

大問1： ア＝−、イ＝2、ウ＝9、エ＝4、オ＝8、カ＝4、キ＝4、ク＝1、ケ＝0、コ＝3、サ＝−、シ＝2、ス＝3、セ＝6、ソ＝②

大問2： ア＝4、イ＝1、ウ＝3、エ＝2、オ＝3、カ＝1、キ＝2、ク＝3、ケ＝1、コ＝3、サ＝1、シ＝1、ス＝2、セ＝1、ソ＝3、タ＝4

大問3： ア＝②、イ＝2、ウ＝2、エ＝2、オ＝8、カ＝2、キ＝4、ク＝2、ケ＝4、コ＝3、サ＝3、シ＝4、ス＝6、セ＝2、ソ＝5、タ＝9、チ＝5、ツ＝3、テ＝4、ト＝6、ナ＝2、ニ＝1、ヌ＝0、ネ＝1

大問4： ア＝1、イ＝0、ウ＝9、エ＝1、オ＝0、カ＝6、キ＝7、ク＝2、ケ＝1、コ＝2、サ＝2

大問1　基本小問

(1) 分数の四則計算

割り算は逆数の掛け算に直し、累乗を先に計算します。

3/2 ÷ (−9/4) + (−2/3)²
= 3/2 × (−4/9) + 4/9
= −2/3 + 4/9
= −6/9 + 4/9
= −2/9

問題の指示に合わせると、ア＝−、イ＝2、ウ＝9 です。

(2) 式の値

(x−5)²(x+5)² は、先に (x−5)(x+5) をまとめると計算が楽になります。

(x−5)²(x+5)² = {(x−5)(x+5)}² = (x²−25)²

x²＝3 なので、

(3−25)² = (−22)² = 484

エ＝4、オ＝8、カ＝4 です。

(3) 倍数と余り

「3で割っても7で割っても1余る」数は、1を引くと3でも7でも割り切れます。

3と7の最小公倍数は21なので、条件に合う数は 21×整数＋1 の形です。

  • 22

  • 43

  • 64

  • 85

2桁のものは4個なので、キ＝4 です。

(4) 直線の式

点A(0, 6)、B(3, 0)を通る直線の傾きは、

(0−6)/(3−0) = −2

切片は6なので、直線の式は y＝−2x＋6 です。

点P(k, −14)を代入すると、

−14＝−2k＋6
2k＝20
k＝10

ク＝1、ケ＝0 です。

(5) 連立方程式

条件を2本の式に分けます。

2x＋y＝4
x−2y−3＝4

2本目を整理すると x−2y＝7。1本目から y＝4−2x として代入します。

x−2(4−2x)＝7
5x＝15
x＝3

y＝4−2×3＝−2 なので、コ＝3、サ＝−、シ＝2 です。

(6) 正多角形

内角が170°なら、外角は 180°−170°＝10° です。

多角形の外角の和は360°なので、

360°÷10°＝36

よって正36角形です。ス＝3、セ＝6 です。

(7) 資料の活用

階級ごとの度数を見やすく表すには、ヒストグラムが適しています。

したがって、ソ＝② です。

大問2　放物線と面積

(1) aの値と直線AB

点A、Bは y＝ax² 上にあり、x座標はそれぞれ−1、2です。

A(−1, a)
B(2, 4a)

直線ABの傾きは、

(4a−a)/(2−(−1)) = a

問題文より傾きは1/3なので、

a＝1/3

点Aを通り、傾きが1/3だから、直線ABは、

y＝x/3＋2/3

です。ア＝4、イ＝1、ウ＝3、エ＝2、オ＝3 です。

(2) 面積を半分にする点D

直線ABとy軸の交点をCとすると、C(0, 2/3) です。

OCを底辺にして左右の三角形に分けると、

△OAC＝1/2×2/3×1＝1/3
△OBC＝1/2×2/3×2＝2/3

したがって、

△OAB＝1

なので、カ＝1 です。

直線OBはO(0, 0)、B(2, 4/3)を通るので、

y＝2x/3

Dのx座標をdとすると、

D(d, 2d/3)

と表せます。キ＝2、ク＝3 です。

四角形OACDの面積は、

1/3＋1/2×2/3×d＝(d＋1)/3

です。ケ＝1、コ＝3、サ＝1 です。

これが△OABの半分、つまり1/2になればよいので、

(d＋1)/3＝1/2
d＝1/2

したがって、

D(1/2, 1/3)

です。シ＝1、ス＝2、セ＝1、ソ＝3 です。

点Pが4通りになる理由

△BCPと△BCDは、どちらも底辺をBCと考えられます。

同じ底辺をもつ三角形では、高さが同じなら面積も同じです。したがってPは、BCに平行で、BCからDと同じ距離にある直線上にあります。

そのような直線はBCの両側に1本ずつあります。2本の直線は放物線 y＝x²/3 とそれぞれ2点で交わるので、

2×2＝4

よって、条件を満たす点Pは4通りです。タ＝4 です。

プログラミングにつながる考え方

コンピュータで図形を扱うときも、「放物線と直線の交点を求める」「座標から面積を計算する」といった処理を式にして実装します。見た目だけで判断せず、座標と計算で確かめる考え方が重要です。

大問3　正多角形で円周率をはさむ

(1) 円周率の定義

円周率は「円周の長さ÷直径」です。したがってア＝② です。

(2) 正方形で円をはさむ

半径1なので、円の直径は2です。

内接正方形は対角線が2なので、1辺は √2 です。問題の空欄は √(イ) の形なので、イ＝2 です。

外接正方形の1辺は直径と同じ2なので、ウ＝2 です。

周の長さを比べると、

4√2 ＜ 2π ＜ 8

問題で与えられた √2＝1.41 を使うと、

2.82 ＜ π ＜ 4

です。エ＝2、オ＝8、カ＝2、キ＝4 です。

面積を比べると、

2 ＜ π ＜ 4

なので、ク＝2、ケ＝4 です。

(3) 正六角形で円をはさむ

内接正六角形は、1辺1の正三角形6個に分けられます。

周は6、面積は、

6×√3/4＝3√3/2≈2.595

です。

外接正六角形は1辺が 2/√3 なので、周は 4√3≈6.92、面積は 2√3≈3.46 です。

したがって、

3 ＜ π ＜ 3.46

コ＝3、サ＝3、シ＝4、ス＝6 です。

面積からは、

2.595 ＜ π ＜ 3.46

セ＝2、ソ＝5、タ＝9、チ＝5、ツ＝3、テ＝4、ト＝6 です。

(4) 正n角形と96角形

半径1の円の円周は 2π なので、内接正n角形の周をl_n、外接正n角形の周をl'_nとすると、

l_n ＜ 2π ＜ l'_n

となり、ナ＝2 です。

アルキメデスは正96角形を使って、

3 10/71 ＜ π ＜ 3 1/7

を示しました。したがって、ニ＝1、ヌ＝0、ネ＝1 です。

発展：辺の数を増やすとどうなるか

正4角形より正6角形、正6角形よりさらに辺の多い正多角形の方が円に近づきます。

「内側の正多角形の周 ＜ 円周 ＜ 外側の正多角形の周」という考え方を使えば、辺の数を増やすほどπの範囲を狭くできます。これは、コンピュータで近似値を求める考え方にもつながります。

大問4　覆面算と全探索

問1　SEND + MORE = MONEY

位ごとの「くり上がり」に注目します。

  1. 4桁＋4桁で5桁になるので、万の位へのくり上がりは1。よって M＝1。

  2. 千の位を考えると、M＝1であることから O＝0。

  3. 百の位から千の位へのくり上がりが1だとN＝0になり、O＝0と重なってしまうため、千の位へのくり上がりは0。したがって S＋1＝10 となり、S＝9。

  4. 一の位ではくり上がりがあるので、D＋E＝Y＋10。

  5. 十の位・百の位も順に調べると、E＝5、N＝6、D＝7、R＝8、Y＝2 に決まります。

確認すると、

9567＋1085＝10652

です。

問2　掛け算の覆面算

位取りを使って式にします。

ABAB＝1000A＋100B＋10A＋B＝101(10A＋B)

BA＝10B＋A

したがって、

ABAB×BA＝101(10A＋B)(10B＋A)

となります。

(6) 全部で72通り、5桁は12通り

A、Bは1〜9の異なる数字なので、

9×8＝72

通りです。

積が5桁になる条件は、

101(10A＋B)(10B＋A) ＜ 100000

です。左側の積は整数なので、

(10A＋B)(10B＋A) ≤ 990

と考えられます。

基本の組は、

(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3)

の6組で、AとBを入れ替えたものもあるので、

6×2＝12通り

です。

(7) 回文数になるもの

5桁になる12通りを実際に調べると、回文数になる積は、

12×21×101＝25452

だけです。

AとBを入れ替えた (2,1) でも同じ積になるので、条件を満たす組は2通りです。

プログラミングで全探索して確認する

この問題は、AとBの候補が72通りしかないので、コンピュータなら全て試して確認できます。

for (let A = 1; A <= 9; A++) {
  for (let B = 1; B <= 9; B++) {
    if (A === B) continue;
    const ABAB = 101  (10  A + B);
    const BA = 10 * B + A;
    const value = ABAB * BA;
    const fiveDigits = value < 100000;
    const s = String(value);
    const palindrome = s === s.split('').reverse().join('');
    if (fiveDigits) {
      console.log(A, B, value, palindrome);
    }
  }
}

人間は数学で条件を絞り、コンピュータは漏れがないか確認する。この組み合わせは、プログラミングでもよく使う考え方です。

この問題で身につけたいこと

  • 式を変形して、計算を簡単にする

  • 座標と面積を結びつけて考える

  • 図形を内側と外側からはさんで近似する

  • くり上がりや条件を一つずつ整理する

  • 候補が少ないときは全探索で確認する

答えだけを覚えるのではなく、「なぜその式になるのか」「なぜその候補だけでよいのか」を説明できるようにすると、似た問題にも対応しやすくなります。

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