神山まるごと高専 2025年度数学過去問解答・解説｜中学生向け

大問 1. 計算と図形

ア5

イ4

ウ3

エ9

オ4

カ①

キ2

ク3

ケ5

コ6

この問題のポイント負号と3乗を区別する同じ解を代入する折り返しでは角が等しい

(1) 3乗と符号

空欄を $a$ とすると、 $-(a-7)^3=8$ です。両辺にマイナスを付けて考えると、

(a-7)^3=-8=(-2)^3

したがって $a-7=-2$ より、 $a=5$ です。 $-(5-7)^3=-(-8)=8$ と確かめられます。

【ア：5】

(2) 平方の差の因数分解

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ を使います。

16x^2-9=(4x)^2-3^2=(4x+3)(4x-3)

【イ：4、ウ：3】

(3) 2つの方程式の解を一致させる

先に $2x+1=7x-14$ を解くと、 $5x=15$ より $x=3$ です。もう一方も同じ解になるので、

\frac13\times3+e=10\quad\Longrightarrow\quad e=9

【エ：9】

(4) 正方形の対角線

正方形の1辺を $s$ とすると、三平方の定理より対角線は $s\sqrt2$ です。

s\sqrt2=4\sqrt2\quad\Longrightarrow\quad s=4

【オ：4】

(5) 平方根の計算

分母を有理化して、同じ $\sqrt5$ の項をまとめます。

\frac{25}{\sqrt5}-5\sqrt5=\frac{25\sqrt5}{5}-5\sqrt5=0

選択肢①の0です。

【カ：①】

(6) 連立方程式

$4x=2y+2$ を整理すると $y=2x-1$ 。これを $8x-y=13$ に代入します。

8x-(2x-1)=13\quad\Longrightarrow\quad6x=12

$x=2,\ y=3$ です。元の式でも $16-3=13$ 、 $8=6+2$ が成り立ちます。

【キ：2、ク：3】

(7) 折り返しと平行線の角

長方形の上辺と下辺は平行です。図の112°に隣り合う鋭角は、180°−112°＝68°です。折り返された上辺と、折る前の左向きの上辺との角は112°になります。

折り目は、折る前と折った後の辺がつくる角を二等分します。したがって、

2x=112^\circ\quad\Longrightarrow\quad x=56^\circ

図の112°をそのまま折り目の角にしないようにしましょう。

【ケ：5、コ：6】

大問 2. 箱ひげ図とデータの読み取り

ア①

イ②

ウ②

この問題のポイント箱ひげ図で分からないことも考える偶数個の中央値に注意する個々の値を見るならドットプロット

(1) 確実に読み取れること

正しいのは①です。牟岐線は、最小値・第1四分位数・中央値が0分の位置で重なっています。

選択肢	判断の理由
①	0分の位置で3つの値が重なるので正しい。
②	「何分」の値だけでは「何時」かが分からず、同時発車は断定できない。
③	範囲は最大値と最小値の差。本数の大小を表していない。
④	徳島線の最大値は図では52分付近。55〜59分に50%以上とは読めない。

【ア：①】

(2) 34個のデータに必ず含まれる値

34個の値を小さい順に $x_1,x_2,\ldots,x_{34}$ と並べます。中央値は真ん中2個の平均です。

\text{中央値}=\frac{x_{17}+x_{18}}2=26

平均が26でも、実際の値が25と27であれば26は含まれません。一方、下位17個と上位17個は、どちらも奇数個です。

Q_1=x_9=23,\qquad Q_3=x_{26}=41

23と41はデータそのものです。したがって、必ず含まれる値として選べるのは②です。

【イ：②】

(3) 発車分の細かな分布を調べる方法

選ぶのは②のドットプロットです。0〜59の各値の位置に点を積み重ねれば、「何分発が何本あるか」を細かく確認できます。

ヒストグラムでは区間にまとめるため、1分ごとの違いが見えにくくなります。折れ線グラフは時間の経過による変化などに向いています。

【ウ：②】

大問 3. 一次関数・格子点・面積比

ア1

イ0

ウ−

エ1

オ2

カ9

キ2

ク4

ケ1

コ8

この問題のポイント交点は図の外も数える格子点の条件で候補を絞る面積比を実際の面積へ戻す

(1) 5本の直線の交点

元の4本は互いに傾きが異なり、3本が1点で交わっていません。5本目もどれとも平行ではなく、既存の交点を通らないため、各2本の組に1つずつ別の交点ができます。

\frac{5\times4}{2}=10

図の枠外にある③と④の交点も数えます。

【ア：1、イ：0】

(2) 直線①の式

右に6進むと下に3進むので、傾きは $-3/6=-1/2$ です。 $x$ 軸との交点が $(18,0)$ なので、切片を $b$ とおくと、

0=-\frac12\times18+b\quad\Longrightarrow\quad b=9

\boxed{y=-\frac12x+9}

【ウ：−、エ：1、オ：2、カ：9】

(3) 直線③の式と整数条件

③は $(c,4c)$ を通り、切片が $2c$ 。したがって傾きは $(4c-2c)/c=2$ で、 $y=2x+2c$ です。条件 $0<2c<9$ と整数条件から $c=1,2,3,4$ に絞れます。

①と③の交点について、

-\frac12x+9=2x+2c\quad\Longrightarrow\quad x=\frac{18-4c}{5}

c	交点のx座標	格子点か
1	$14/5$	×
2	2	○
3	$6/5$	×
4	$2/5$	×

$c=2$ のとき交点は $B(2,8)$ 。よって③は $\boxed{y=2x+4}$ です。

【キ：2、ク：4】

(4) 面積比から直線④を決める

$A(0,9),B(2,8),F(0,4)$ より、 $AF=5$ 、Bから $y$ 軸までの距離は2。

[ABF]=\frac12\times5\times2=5

面積比が $10:31:9$ なので、 $[CDE]=5\times9/10=9/2$ です。②は $y=4$ で、①との交点は $D(10,4)$ です。

Cから②までの高さを $h>0$ とします。①の傾きは $-1/2$ なので、CからDまでの横の距離は $2h$ 。④の傾きは4なので、EからCまでの横の距離は $h/4$ です。

DE=2h+\frac h4=\frac{9h}{4},\qquad [CDE]=\frac12\times\frac{9h}{4}\times h=\frac{9h^2}{8}

\frac{9h^2}{8}=\frac92\quad\Longrightarrow\quad h=2

Cの $y$ 座標は6。①に代入すると $C(6,6)$ です。④を $y=4x-k$ とすると、 $6=24-k$ より $k=18$ 。

\boxed{y=4x-18}

検算： $E(11/2,4)$ なので $[CDE]=(9/2)\times2/2=9/2$ 。大きな三角形ADFの面積は25、残りのBCEFは $25-5-9/2=31/2$ 。面積比は確かに $10:31:9$ です。

【ケ：1、コ：8】

大問 4. 円周角と星形の角の和

ア1

イ7

ウ6

エ4

オ2

カ5

キ4

ク0

ケ1

コ8

サ0

シ4

ス1

セ8

ソ0

タ6

この問題のポイント円周角は対応する弧の半分正多角形とは限らない小さい場合から一般化する

(1) 正96角形の内角

正多角形の外角の和は360°。内角と外角を合わせると180°です。

180^\circ-\frac{360^\circ}{96}=176.25^\circ

原問では小数点以下の .25 が印刷されているため、3つの空欄には176を入れます。

【ア：1、イ：7、ウ：6】

(2) 二等辺三角形と円周角

$OA=OB$ は半径なので、 $\angle OAB=\angle OBA=48^\circ$ 。

\angle AOB=180^\circ-48^\circ-48^\circ=84^\circ

Cは弧ABの反対側にあるので、同じ小さい弧ABに対する円周角は中心角の半分です。

\angle ACB=84^\circ\div2=42^\circ

【エ：4、オ：2】

(3) 1つ飛ばしで結んだ7頂点の角の和

1つ飛ばしとは、円周上で2つ先の点と結ぶことです。ある頂点で両隣の接続点へ引いた2本の線を考えると、その頂点を含まない弧は、7個の隣接する弧のうち3個分です。

7頂点すべてで足すと、それぞれの隣接する弧は3回ずつ使われます。円周角は対応する弧の半分なので、

\text{角の和}=\frac12\times3\times360^\circ=540^\circ

点の間隔が等しくなくても、この「使われる回数」は変わりません。

【カ：5、キ：4、ク：0】

(4) 1つ飛ばし・n頂点の場合

各頂点で、その頂点を含まない弧は、隣接する弧のうち n−4 個分です。すべての頂点で足すと、どの隣接する弧も n−4 回ずつ使われます。

\text{角の和}=\frac12(n-4)\times360^\circ=180^\circ(n-4)

よって係数は180、引く数は4です。

【ケ：1、コ：8、サ：0、シ：4】

(5) 2つ飛ばし・n頂点の場合

2つ飛ばしでは3つ先の点を結びます。ある頂点から左右に3個ずつの隣接する弧を除くと、円周角に対応する弧は n−6 個分です。

\text{角の和}=\frac12(n-6)\times360^\circ=180^\circ(n-6)

「nが奇数」だけでは、すべての頂点を一筆書きで回れるとは限りません。たとえばn＝9で3つ先ずつ結ぶと、3つの三角形に分かれます。それでも、全n頂点に示された角を合計すれば、この式は成り立ちます。

頂点数 n	1つ飛ばし	2つ飛ばし
7	540°	180°
9	900°	540°
11	1260°	900°

【ス：1、セ：8、ソ：0、タ：6】

大問 5. 角材の束と長方形の最適化

ア6

イ②

ウ⑤

エ⑦

オ④ ※

カ②

この問題のポイント面積と周の長さを区別する変えない量を式にするグラフの交点の意味を考える

ア：6×6に並べると余るひもの長さ

断面が1cm四方の角材36本を3×12に並べると、周は30cmです。同じひもで6×6の正方形を囲むと、周は24cmです。結び目の分を考えない条件なので、

2(3+12)-2(6+6)=30-24=6\ \mathrm{cm}

【ア：6】

イ：何を一定にして何を小さくするか

角材は36本で、断面積の合計36cm²は変わりません。ひもを短くするには周の長さを小さくします。つまり、面積一定のとき、周の長さを最小にする問題なので②です。

続く会話では、見方を変えて「周の長さ一定のとき、面積を最大にする問題」を考えています。両者を混同しないことが大切です。

【イ：②】

ウ・エ・オ：周を保って辺を変える

高さを $BP$ だけ短くし、幅を $DS$ だけ長くします。周を変えないためには、減った長さと増えた長さをそろえればよいので、 $BP=DS$ です。ウは⑤です。

元の長方形から取り除く上の帯BCQPと、付け加える右の帯DQRSを比べます。

\text{取り除く面積}=BC\times BP,\qquad\text{付け加える面積}=RS\times DS

元が正方形なら $BC=AB$ で、 $RS=AP<AB$ 。したがって $BC>RS$ となり、取り除く面積のほうが大きくなります。幅を伸ばして高さを縮める変更では、面積が減ります。逆方向も対称なので、周一定では正方形が最大です。

※ 解説では、比較する2つの帯の辺に合わせて「エ：⑦BC、オ：④RS」としています。ただしAP＝RS、AQ＝BCなので、「BC＞AP」「AQ＞RS」なども同じ長さの比較です。提供PDFのこの空欄は、線分名だけから数学的に唯一の組を定めることはできません。公式の採点上の扱いは未確認です。

【ウ：⑤、エ：⑦、オ：④（同じ長さの線分について上記参照）】

カ：2本のグラフの意味

適切なのは②です。横軸を横の長さ $x$ 、縦軸を縦の長さ $y$ とすると、周24cmの条件は、

2(x+y)=24\quad\Longrightarrow\quad y=12-x

右下がりの直線になります。一方、面積36cm²を保つ条件は、

xy=36\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{36}{x}\quad(x>0)

反比例の曲線になります。この直線と曲線を表すのが②です。

12-x=\frac{36}{x}\quad\Longrightarrow\quad (x-6)^2=0

交点は $(6,6)$ の1つだけです。周24cmの長方形の面積は、

xy=x(12-x)=36-(x-6)^2\le36

となり、 $x=y=6$ の正方形で最大36cm²です。逆に面積36cm²一定なら、

(x+y)^2=(x-y)^2+4xy\ge144

辺の長さは正なので $x+y\ge12$ 。したがって周は24cm以上で、等号は $x=y=6$ のときに成り立ちます。

【カ：②】

プログラミングにつながる考え方：条件を固定して比較する

縦と横を順に変え、面積と周の長さを表にすると、正方形に近いほどひもが短くなることを確かめられます。ただし数例だけで一般的な証明にはなりません。最後に式や図形で、すべての場合に成り立つ理由を説明しましょう。

縦×横（36本）	断面の周
1×36	74cm
2×18	40cm
3×12	30cm
4×9	26cm
6×6	24cm

復習で確認したいこと

計算は代入して検算

符号や分母を確かめ、答えを元の式に戻す。

データの要約と元の値を区別

中央値が実際のデータに含まれるとは限らない。

図を式で表す

傾きから横の距離と高さを結び、面積比を使う。

一般化の条件を確認

星形の頂点が等間隔か、一筆書きになるかを区別する。

何を一定にするかを決める

面積一定と周一定を区別し、比較の軸をそろえる。

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