神山まるごと高専 2024年度 数学 過去問 解答・解説｜中学生向け図解

掛け算を先に計算します。

【アイ: -1】

掛けて-40、足して-3になる2つの数は5と-8です。

【ウ: 5, エ: 8】

これを満たす最大の整数は8です。

【オ: 8】

分母を有理化し、根号の中を整理します。

【カ: 7, キ: 3】

解の公式を利用します。

【ク: 5】

$6x + 5y = 4$ …①

$2x + 3y = 4$ …②

②を3倍して $6x + 9y = 12$。これから①を引くと $4y = 8 \implies y = 2$。

②に代入して $2x + 6 = 4 \implies x = -1$。

【ケ: 1, コ: 2】

$\triangle ABE$ と $\triangle ACD$ に注目します。仮定と点の位置から、

となります。1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しいため、この2つの三角形は合同です。

したがって、選ぶのは ② ABE と ⑧ ACD です。

【サ: ②, シ: ⑧】

もう少し詳しく：なぜ残りの三角形も合同？

大きい三角形の合同から $AE=AD$、$\angle AEB=\angle ADC$ が分かります。

また、$\angle BDF$ と $\angle CEF$ は、それぞれ $\angle ADC$、$\angle AEB$ の補角なので等しくなります。仮定の $\angle DBF=\angle ECF$ と合わせると、1組の辺とその両端の角が等しいため、$\triangle DBF\equiv\triangle ECF$。対応する辺より $BF=CF$ です。

共通部分を取り除くという見方は役立ちますが、面積が等しいだけでは合同とはいえません。 辺と角の対応まで確かめましょう。

紙を $n$ 回折ったときの厚さは $1 \times 2^n$ mm です。

$8.5$ m $= 8500$ mm なので、$2^n > 8500$ となる $n$ を探します。

$2^{10} = 1024$、$2^{13} = 8192$、$2^{14} = 16384$ となるため、14回目で超えます。

【スセ: 14】

折れ線グラフは、時系列でのデータの増減（右上がりなら増加、右下がりなら減少）を視覚的に捉えるのに適しています。

【ソ: ②】

月曜日・水曜日の両方のグラフで、2022年の大きな山の付近を見ると、新規陽性者数が10,000人を超える週が続いています。両方の曜日で10,000人を超えた週が、連続して2週間以上あるため、選択肢4が適切です。

選択肢1の「火曜日の値は月曜日と水曜日の平均」は、グラフからは断定できません。2020年にも100人を超える値があるので選択肢2も不適切です。また、グラフの線が0に近いだけでは「毎年0人の日がある」とは判断できません。

【タ: 4】

曜日の影響をならすには、毎日、直近7日分の平均を取る方法が適しています。

7日間なら、月曜日から日曜日までの各曜日が1回ずつ入ります。3日・5日・9日では曜日の含まれ方が偏るため、選択肢3が最も適切です。

【チ: 3】

平均によって曜日ごとのばらつきを小さくできます。ただし、祝日などの影響まですべて消えるわけではありません。

$y = bx + c$ が $(0, 6)$ と $(-6, 0)$ を通るため、切片は $c = 6$。

$0 = -6b + 6$ より $b = 1$。よって式は $y = x + 6$ です。

【ツ: 1, テ: 6】

①は $y=ax^2$、②は $y=a(x-5)^2+5$、③は $y=x+6$ です。

3つのグラフの共通の交点を $(p,p+6)$ とおくと、

となります。$p=0$ では最初の式が成り立たないので、$a=(p+6)/p^2$ を2つ目の式に代入します。

整理すると、

よって $p=3$ または $p=-10$。それぞれ $a=1$、$a=-1/25$ となります。図の放物線は上に開いているため $a>0$ です。したがって $a=1$、共通の交点は $(3,9)$ です。

【ト: 1】

④は③と平行で、①の頂点 $(0,0)$ を通るので、$y=x$ です。

②と④の交点を求めます。

したがって $A(5,5),\ B(6,6)$ です。

②と③の交点は、

より $C(3,9),\ D(8,14)$ です。

四角形ABDCは、$AB$ と $CD$ を平行な2辺とする台形です。三平方の定理から、

となります。2直線の間隔は、縦の差6をそのまま使うのではなく、直線に垂直な長さで測ります。傾き1の直線なので、直角二等辺三角形を使うと高さは $6/\sqrt2=3\sqrt2$。

【ナ: 1, ニ: 8】

まず、$y=d/x$ と④の $y=x$ の交点を考えます。

定義域が $x<0$ なので $d>0$ であり、交点の $x$ 座標が整数なら $d=k^2$（$k$ は正整数）です。

次に、③の $y=x+6$ との交点を考えると、

となります。負の側の交点が整数になるには、$9+d=l^2$（$l$ は正整数）が必要です。

正整数の因数の組は $(1,9)$ と $(3,3)$ です。前者では $k=4$、後者では $k=0$。$k=0$ は $x<0$ の条件を満たさないため除外します。

したがって、条件を満たす値は $d=16$ のみです。交点は④と $(-4,-4)$、③と $(-8,-2)$ になり、両方とも整数です。

解答欄についての注意

原問には「ヌ」と「ネノ」の2つの値を書く欄があります。しかし、記載された $x<0$ と交点の条件からは $d=16$ の1つしか得られません。本記事では、条件から求めた結果と、原問の欄構成を区別して記載しています。もう1つの値やマーク欄への割り当ては推測しません。

なお、$0$ と $9$ も差が9の平方数ですが、$d=0$ では④との交点が $x=0$ となるため使えません。

1辺が10の正三角形の高さは $5\sqrt{3}$。面積は $\frac{1}{2} \times 10 \times 5\sqrt{3} = 25\sqrt{3}$ です。

【ハヒ: 25, フ: 3】

正三角形の内接円の中心 $O$ は、頂点Aから底辺BCの中点Dに向かう対称軸上にあります。

頂点Aに近い乙円もAB、ACの両方に接しているので、その中心 $O_1$ は同じ角の二等分線上にあります。また、2つの円の接点Gは中心を結ぶ直線上にあります。

したがって、$A,O_1,G,O,D$ は一直線上にあるので、選択肢⓪です。

【へ: ⓪】

甲円の中心 $O$ は正三角形の内心であり、重心でもあります。$AO$ は頂角を二等分するので $\angle OAF=30^\circ$。接点に向かう半径 $OF$ は辺ABに垂直なので、$\angle AFO=90^\circ$ です。

よって $\angle AOF=60^\circ$。$OG$ は $OA$ と同じ向きなので、$\angle GOF=60^\circ$ です。

正三角形の高さは $5\sqrt3$。重心は高さを頂点側から $2:1$ に分けるので、甲円の半径 $R=OD$ は、

です。

【ホ: 6, マ: 0, ◯: 5, △: 3, □: 3】

甲円の半径を $R$、乙円の半径を $r$ とします。$AD=3R$、$OG=OD=R$ なので、

より、$AG:GD=1:2$ です。

ここでGを通りBCに平行な直線を引くと、AB・ACとの交点とAによって、小さな正三角形ができます。乙円はこの三角形の内接円です。

内心が高さを $2:1$ に分けるので、$AO_1:O_1G=2:1$。$O_1G=r$ より、

となります。したがって、

です。

【ミ: 1, ム: 2, ＊: 5, ▽: 3, ＠: 9】

$AO=2R$、$AO_1=2r=2R/3$ なので、

となります。よって、

です。B、Cについても同じ関係が成り立ちます。つまり、$\triangle O_1O_2O_3$ は $\triangle ABC$ を中心O、倍率 $2/3$ で縮小した正三角形です。

面積比は相似比の2乗なので、

となります。

【メ: 4, モ: 9】

$n$ 段目には $2n - 1$ 個の鱗があります。

$n$ 段目までの総和は $1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2$ 個となります。

$n^2 > 200$ を満たす最小の自然数は $15$（$15^2 = 225$）です。

【ヤユ: 15】

与えられた数列は、初項1、公差4の等差数列（$4k - 3$）です。

第10群までに含まれる項の総数は $1 + 2 + \dots + 10 = 55$ 個。

第11群の最初の項は、全体の第56項にあたるため、$4 \times 56 - 3 = 221$ となります。

【ヨラリ: 221】

側面の展開図は、横 $20\pi$、縦 $10\pi$ の長方形です。円柱を一周する1段の半円の個数を $m$、段数を $n$ とすると、

です。展開図の左右の端は円柱上でつながるため、段をずらしても1周分の個数は同じです。

半円の半径を $r$、2段目以降に高さとして飛び出す長さを $h$ とおきます。横の長さと全体の高さから、

となります。一番下の半円の高さは $r$、それ以降は1段ごとに $h$ ずつ高くなる点がポイントです。

問題文の条件は、半円の直径 $2r$ の $1/6$ から $1/4$ までなので、

です。$r=10\pi/m$ を使うと、$n>1$ のとき、

となります。65の因数の組を、この高さの条件でも調べましょう。

したがって $m=5,n=13$ です。

このとき $h=r/3=2\pi/3$ なので、$r+12h=2\pi+8\pi=10\pi$ と高さも確認できます。

【ル: 2, レ: π】